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Hotel de Hilbert
Los conjuntos infinitos tienen siempre un costado atractivo: atentan contra la intuición. Supongamos que hubiera un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel, en una ciudad, que contiene infinitas habitaciones. Estas habitaciones están numeradas, y a cada una le corresponde un número natural. Así entonces, la primera lleva el número 1, la segunda el número 2, la tercera el 3, etc. Es decir: en la puerta de cada habitación hay una placa con un número, que sirve de identificación. Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. En un momento determinado, llega al hotel un señor con cara de muy cansado. Es tarde en la noche y todo lo que este hombre espera es terminar rápido con el papelerío para irse a descansar. Cuando el empleado de la recepción le dice: "lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible ya que todas las habitaciones están ocupadas", el recién llegado no lo puede creer. Y le pregunta: - Pero cómo... ¿No tienen ustedes infinitas habitaciones? - Sí -responde el empleado del hotel. - Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles? - Y sí, señor. Están todas ocupadas. - Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al problema, lo ayudo yo. Y aquí conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la respuesta del conserje "no hay más lugar", si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre alguna solución? Aquí va: - Vea -continuó el pasajero-. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así siguiendo. De esta forma, toda persona seguirá teniendo una habitación, que "no compartirá" con nadie (tal como era antes), pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1. El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el problema se solucionó. Ahora bien, algunos problemas más: a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el problema? b) ¿Y si en lugar de dos, llegan cien? c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan n pasajeros inesperadamente durante la noche (donde n es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una pieza para dormir? d) ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso? Las soluciones son: a) Si en lugar de una persona llegan dos, lo que el conserje tiene que hacer es pedirle al de la habitación 1 que vaya a la 3, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 5, al de la 4 a la 6, etc. Es decir, pedirle a cada uno que se corra dos habitaciones. Eso dejará las dos primeras habitaciones libres que servirán para alojar a los dos pasajeros recién llegados. b) Si en lugar de dos pasajeros llegan cien, entonces lo que hay que hacer es decirle al señor de la habitación 1 que pase a la 101, al de la 2, a la habitación 102, al de la 3, a la habitación 103, y así siguiendo. La idea es que cada uno se corra exactamente cien habitaciones. Eso dejará cien habitaciones libres, que ocuparán los cien nuevos pasajeros que recién arribaron. c) Con la misma idea que solucionamos la parte a) y b) se responde ésta. Si los que llegan son n nuevos pasajeros, la solución es correr cada pasajero que ya ocupaba una habitación, n habitaciones. Es decir: si alguien está en al habitación x, pasarlo a la habitación (x + n). Eso dejará n habitaciones libres para los recién llegados. Y para terminar de contestar la pregunta que plantea el ítem c), la respuesta es sí, sea cual fuere el número de personas que llega. SIEMPRE se puede resolver el problema como acabamos de indicar. d) Por último, si los que llegan son infinitos nuevos pasajeros, entonces, ¿qué hacer? Una posibilidad es decirle al de la habitación 1 que pase a la 2, al de la 2 que pase a la 4, al de la 3 que pase a la 6, al de la 4 que pase a la 8, al de la 5 que vaya a la 10, etc. Es decir, cada uno pasa a la habitación que está indicada con el doble del número que tiene en ese momento. De esta forma, todos los recién llegados tienen una habitación (las que están marcadas con un número impar) mientras que los pasajeros que ya estaban antes de la invasión de nuevos turistas, ocuparán ahora todas las habitaciones con números pares en la puerta. CONCLUSIÓN: los conjuntos infinitos tienen propiedades muy peculiares, pero, entre otras, la que atenta contra la intuición es que un subconjunto "más pequeño", "contenido" dentro de un conjunto, puede contener el mismo número de elementos que el todo.
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webmaster: Marcelo Adrián Fuentes |
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